701. В прямоугольном треугольнике один из катетов равен b, а прилежащий к нему угол равен α. а) Выразите второй катет, прилежащий к нему острый угол и гипотенузу через b и α. б) Найдите их значения, если b = 12 см, α = 42°.

Решение:

а) Выражение через b и α

1. Второй катет (противолежащий углу α) обозначим как a. Тогда \( \operatorname{tg} \alpha = \frac{a}{b} \), откуда \( a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha \).
2. Прилежащий к катету b острый угол — это \( \alpha \). Противолежащий углу α острый угол — это \( \beta \). В прямоугольном треугольнике \( \alpha + \beta = 90° \), следовательно, \( \beta = 90° - \alpha \).
3. Гипотенузу обозначим как c. Тогда \( \cos \alpha = \frac{b}{c} \), откуда \( c = \frac{b}{\cos \alpha} \).

б) Значения при b = 12 см, α = 42°

1. \( a = 12 \cdot \operatorname{tg} 42° \) см.
2. \( \beta = 90° - 42° = 48° \).
3. \( c = \frac{12}{\cos 42°} \) см.

Ответ: а) \( a = b \cdot \operatorname{tg} \alpha \), \( \beta = 90° - \alpha \), \( c = \frac{b}{\cos \alpha} \); б) \( a = 12 \operatorname{tg} 42° \) см, \( \beta = 48° \), \( c = \frac{12}{\cos 42°} \) см.