7. Высота конуса равна 6, угол между образующей конуса и плоскостью основания 30°. Найдите площадь боковой поверхности конуса и его объем.

Решение:

1. Обозначим высоту конуса \( h = 6 \), угол между образующей и плоскостью основания \( \alpha = 30^{\circ} \).
2. В прямоугольном треугольнике, образованном высотой, радиусом основания \( r \) и образующей \( l \), угол \( \alpha \) лежит напротив высоты.
3. Найдём радиус основания: \( \text{tg } \alpha = \frac{h}{r} \) \( \text{tg } 30^{\circ} = \frac{6}{r} \) \( r = \frac{6}{\text{tg } 30^{\circ}} = \frac{6}{1/\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \).
4. Найдём образующую: \( \text{sin } \alpha = \frac{h}{l} \) \( \text{sin } 30^{\circ} = \frac{6}{l} \) \( l = \frac{6}{\text{sin } 30^{\circ}} = \frac{6}{1/2} = 12 \).
5. Площадь боковой поверхности конуса: \( S_{\text{бок}} = \pi r l \) \( S_{\text{бок}} = \pi \cdot 6\sqrt{3} \cdot 12 = 72\sqrt{3} \pi \).
6. Объем конуса: \( V = \frac{1}{3} \pi r^2 h \) \( V = \frac{1}{3} \pi (6\sqrt{3})^2 \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi (36 \cdot 3) \cdot 6 = \frac{1}{3} \pi \cdot 108 \cdot 6 = \pi \cdot 36 \cdot 6 = 216 \pi \).

Ответ: Площадь боковой поверхности равна \( 72\sqrt{3} \pi \). Объем конуса равен \( 216 \pi \).