6. Найдите промежутки монотонности; наибольшее и наименьшее значение функции. f(x) = -2x³ + 3x² + 6.

Решение:

1. Найдём производную функции: \( f'(x) = -6x^2 + 6x \).
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки: \( -6x^2 + 6x = 0 \) \( -6x(x - 1) = 0 \). Отсюда \( x = 0 \) или \( x = 1 \).
3. Определим промежутки монотонности:
   • При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)), \( f'(-1) = -6(-1)^2 + 6(-1) = -6 - 6 = -12 < 0 \). Функция убывает.
   • При \( 0 < x < 1 \) (например, \( x = 0.5 \)), \( f'(0.5) = -6(0.5)^2 + 6(0.5) = -6(0.25) + 3 = -1.5 + 3 = 1.5 > 0 \). Функция возрастает.
   • При \( x > 1 \) (например, \( x = 2 \)), \( f'(2) = -6(2)^2 + 6(2) = -6(4) + 12 = -24 + 12 = -12 < 0 \). Функция убывает.
4. Промежутки монотонности: Функция убывает на \( (-\infty; 0] \) и \( [1; +\infty) \). Функция возрастает на \( [0; 1] \).
5. Найдем значения функции в критических точках:
   • \( f(0) = -2(0)^3 + 3(0)^2 + 6 = 6 \) (это локальный минимум).
   • \( f(1) = -2(1)^3 + 3(1)^2 + 6 = -2 + 3 + 6 = 7 \) (это локальный максимум).
6. Так как функция убывает до \( x=0 \) и возрастает после \( x=1 \), то наибольшее значение функции равно \( 7 \) (в точке \( x=1 \)), а наименьшего значения на всей области определения нет (стремится к \( -\infty \)). Если рассматривается отрезок, то нужно учитывать его концы. Без указания отрезка, наибольшее значение — локальный максимум, наименьшего — нет.

Ответ: Функция убывает на \( (-\infty; 0] \) и \( [1; +\infty) \). Возрастает на \( [0; 1] \). Наибольшее значение равно 7. Наименьшего значения не существует.