7. Вычислить объём цилиндра, если площадь основания цилиндра равна 160πсм², площадь осевого сечения цилиндра равна 140см².

Решение:

1. Площадь основания цилиндра \( S_o \) равна \( \pi R^2 \), где \( R \) — радиус основания.
   \( \pi R^2 = 160\pi \)
   \( R^2 = 160 \)
   \( R = \sqrt{160} = \sqrt{16 \cdot 10} = 4\sqrt{10} \) см.
2. Осевое сечение цилиндра — это прямоугольник, стороны которого равны диаметру основания \( (2R) \) и высоте цилиндра \( (H) \).
   Площадь осевого сечения \( S_o.c. = 2R \cdot H \).
   \( 140 = 2R \cdot H \)
3. Подставим значение \( R \) в формулу площади осевого сечения:
   \( 140 = 2(4\sqrt{10}) H \)
   \( 140 = 8\sqrt{10} H \)
   \( H = \frac{140}{8\sqrt{10}} = \frac{35}{2\sqrt{10}} \) см.
4. Объём цилиндра \( V \) вычисляется по формуле \( V = S_o \cdot H \).
   \( V = 160\pi \cdot \frac{35}{2\sqrt{10}} \)
   \( V = \frac{160\pi \cdot 35}{2\sqrt{10}} = \frac{80\pi \cdot 35}{\sqrt{10}} = \frac{2800\pi}{\sqrt{10}} \)
   Рационализируем знаменатель:
   \( V = \frac{2800\pi \cdot \sqrt{10}}{\sqrt{10} \cdot \sqrt{10}} = \frac{2800\pi \sqrt{10}}{10} = 280\pi \sqrt{10} \) см³.

Ответ: \( 280\pi \sqrt{10} \) см³.