6. Найти область определения функции. f(x) = √6x² - 3x

Решение:

Область определения функции \( f(x) = \sqrt{6x^2 - 3x} \) находится там, где подкоренное выражение неотрицательно.

1. Составим неравенство:
   \( 6x^2 - 3x \geq 0 \)
2. Вынесем общий множитель \( 3x \) за скобки:
   \( 3x(2x - 1) \geq 0 \)
3. Найдем корни уравнения \( 3x(2x - 1) = 0 \):
   \( x = 0 \) или \( 2x - 1 = 0 \) ⇒ \( x = \frac{1}{2} \)
4. Определим знаки произведения \( 3x(2x - 1) \) на интервалах \( (-\infty; 0] \), \( [0; \frac{1}{2}] \), \( [\frac{1}{2}; \infty) \).
   При \( x < 0 \) (например, \( x = -1 \)): \( 3(-1)(2(-1)-1) = -3(-3) = 9 > 0 \)
   При \( 0 < x < \frac{1}{2} \) (например, \( x = 0.25 \)): \( 3(0.25)(2(0.25)-1) = 0.75(0.5-1) = 0.75(-0.5) = -0.375 < 0 \)
   При \( x > \frac{1}{2} \) (например, \( x = 1 \)): \( 3(1)(2(1)-1) = 3(1) = 3 > 0 \)
5. Условие \( 6x^2 - 3x \geq 0 \) выполняется при \( x \leq 0 \) или \( x \geq \frac{1}{2} \).

Ответ: \( x \in (-\infty; 0] \cup [\frac{1}{2}; \infty) \).