4. Найти наибольшее и наименьшее значения функции. f(x) = x⁴ - 8x² - 9 на отрезке [-1; 1]

Решение:

1. Найдем производную функции:
   \( f'(x) = (x^4 - 8x^2 - 9)' = 4x^3 - 16x \)
2. Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \( 4x^3 - 16x = 0 \)
   \( 4x(x^2 - 4) = 0 \)
   \( 4x(x - 2)(x + 2) = 0 \)
3. Критические точки: \( x = 0, x = 2, x = -2 \).
4. Из критических точек выберем те, которые принадлежат отрезку [-1; 1]. Это только \( x = 0 \).
5. Вычислим значения функции в критической точке и на концах отрезка:
   \( f(0) = 0^4 - 8(0)^2 - 9 = -9 \)
   \( f(-1) = (-1)^4 - 8(-1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \)
   \( f(1) = (1)^4 - 8(1)^2 - 9 = 1 - 8 - 9 = -16 \)
6. Сравним полученные значения:
   Наибольшее значение равно -9.
   Наименьшее значение равно -16.

Ответ: Наибольшее значение функции равно -9, наименьшее — -16.