7. В треугольник АВС вписана окружность, которая касается стороны АВ треугольника АВС в точке М, стороны ВС в точке N и стороны АС в точке К. АК=5,5 см, ВМ=4,2 см, СN=8,3 см. Найдите периметр треугольника АВС.

Решение:

Свойства касательных, проведенных из одной точки к окружности:

1. Касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны.

Точки касания:

• Точки М на стороне АВ.
• Точки N на стороне ВС.
• Точки К на стороне АС.

Из точки А проведены касательные AM и AK. Значит, \( AM = AK \).

Из точки В проведены касательные BM и BN. Значит, \( BM = BN \).

Из точки С проведены касательные CN и CK. Значит, \( CN = CK \).

По условию:

• \( AK = 5.5 \) см. Следовательно, \( AM = 5.5 \) см.
• \( BM = 4.2 \) см. Следовательно, \( BN = 4.2 \) см.
• \( CN = 8.3 \) см. Следовательно, \( CK = 8.3 \) см.

Периметр треугольника АВС равен сумме длин его сторон:

\( P_{\triangle ABC} = AB + BC + AC \).

Найдем длины сторон:

• \( AB = AM + MB = 5.5 + 4.2 = 9.7 \) см.
• \( BC = BN + NC = 4.2 + 8.3 = 12.5 \) см.
• \( AC = AK + KC = 5.5 + 8.3 = 13.8 \) см.

Теперь найдем периметр:

\( P_{\triangle ABC} = 9.7 + 12.5 + 13.8 = 36 \) см.

Ответ: Периметр треугольника АВС равен 36 см.