6. Треугольник АВС — прямоугольный, с прямым углом В, угол А=30°. BD — высота., CD=7 см. Найдите длину отрезка AD.

Решение:

В прямоугольном \( \triangle ABC \): \( \angle B = 90^{\circ} \), \( \angle A = 30^{\circ} \).

Сумма углов треугольника равна 180°, значит \( \angle C = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 30^{\circ} = 60^{\circ} \).

BD — высота, значит \( \angle BDA = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle BDC \) — он прямоугольный, так как \( \angle BDC = 90^{\circ} \).

В \( \triangle BDC \): \( \angle C = 60^{\circ} \).

Известно, что \( CD = 7 \) см.

В прямоугольном \( \triangle BDC \) катет BD лежит против угла \( 60^{\circ} \), а катет CD лежит против угла \( \angle CBD \).

Найдём \( \angle CBD \) в \( \triangle BDC \): \( \angle CBD = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 60^{\circ} = 30^{\circ} \).

В прямоугольном \( \triangle BDC \) катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. То есть \( BD = CD / 2 \) неверно, так как BD лежит против угла 60°, а CD против угла 30°.

Правильно: катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. \( BD \) — катет, противолежащий углу \( 60^{\circ} \). \( CD = 7 \) см — катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \).

Значит, \( CD = BC / 2 \) неверно. \( BD = BC \cdot \sin(60^{\circ}) \), \( CD = BC \cdot \sin(30^{\circ}) \). Отношение \( CD / BD = \sin(30^{\circ}) / \sin(60^{\circ}) = (1/2) / (\sqrt{3}/2) = 1/\sqrt{3} \).

\( BD = CD \cdot \sqrt{3} = 7 \sqrt{3} \) см.

Теперь рассмотрим \( \triangle ABD \) — он прямоугольный, так как \( \angle BDA = 90^{\circ} \).

В \( \triangle ABD \): \( \angle A = 30^{\circ} \).

Мы нашли \( BD = 7 \sqrt{3} \) см.

В \( \triangle ABD \) катет BD лежит против угла \( 30^{\circ} \). Значит, \( BD = AD / 2 \) неверно. \( BD \) — катет, противолежащий углу \( 30^{\circ} \). \( AD \) — гипотенуза.

Правильно: \( BD = AD \cdot \sin(30^{\circ}) \).

\( 7 \sqrt{3} = AD \cdot (1/2) \).

\( AD = 2 \cdot 7 \sqrt{3} = 14 \sqrt{3} \) см.

Ответ: Длина отрезка AD равна 14√3 см.