7. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) точки М, №, К — середины сторон АВ, ВС, СА соответственно. Докажите, что треугольник MNK — равнобедренный.

Доказательство:

Дано: \( \triangle ABC \) — равнобедренный, \( AB = BC \). Точки M, N, K — середины сторон AB, BC, CA соответственно.

Доказать: \( \triangle MNK \) — равнобедренный.

Доказательство:

1. Рассмотрим \( \triangle ABC \). По условию, \( AB = BC \).
2. M — середина AB, N — середина BC, K — середина AC.
3. По теореме о средней линии треугольника:
• Отрезок MN соединяет середины сторон AB и BC, поэтому MN параллелен AC и \( MN = \frac{1}{2} AC \).
• Отрезок NK соединяет середины сторон BC и AC, поэтому NK параллелен AB и \( NK = \frac{1}{2} AB \).
• Отрезок MK соединяет середины сторон AB и AC, поэтому MK параллелен BC и \( MK = \frac{1}{2} BC \).
4. Так как \( AB = BC \) (по условию), то \( \frac{1}{2} AB = \frac{1}{2} BC \).
5. Следовательно, \( NK = MK \).
6. В треугольнике MNK две стороны NK и MK равны.
7. По определению, треугольник, у которого две стороны равны, является равнобедренным.

Вывод: Треугольник MNK является равнобедренным.