2. Основания равнобедренной трапеции равны 8 и 56. Боковые стороны равны 25. Найдите синус острого угла трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции равны \( a = 8 \) и \( b = 56 \), а боковые стороны \( c = 25 \).

Проведем высоты из концов меньшего основания к большему. Это разделит большее основание на три отрезка. Средний отрезок равен меньшему основанию, то есть 8. Два крайних отрезка равны между собой.

Длина одного крайнего отрезка равна \( \frac{56 - 8}{2} = \frac{48}{2} = 24 \).

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковой стороной, высотой и одним из крайних отрезков большего основания. Гипотенуза этого треугольника равна боковой стороне трапеции (25), а один из катетов равен 24.

Пусть \( \alpha \) — острый угол трапеции. В этом прямоугольном треугольнике \( \alpha \) является углом при большем основании.

Найдем высоту \( h \) по теореме Пифагора:

\( h^2 + 24^2 = 25^2 \)

\( h^2 + 576 = 625 \)

\( h^2 = 625 - 576 \)

\( h^2 = 49 \)

\( h = 7 \)

Теперь найдем синус острого угла \( \alpha \). Синус угла в прямоугольном треугольнике — это отношение противолежащего катета (высоты \( h \)) к гипотенузе (боковой стороне \( c \)):

\( \sin \alpha = \frac{h}{c} \)

\( \sin \alpha = \frac{7}{25} \)

\( \sin \alpha = 0.28 \)

Ответ: 0.28