7. В квадрате ABCD диагональ АС пересекает отрезок ВМ (M предп. лежит на AD) в точке Р. Найдите длины отрезков ВР и РМ, если сторона квадрата равна 12 см, а отрезок АМ=5см.

Решение:

Рассмотрим \( \triangle APM \) и \( \triangle CPB \).

1. \( ∠ PAM = ∠ PCB \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( AC \) (так как \( ABCD \) — квадрат, \( AD ‖ BC \)).

2. \( ∠ AMP = ∠ CBP \) как накрест лежащие при параллельных прямых \( AD \) и \( BC \) и секущей \( BM \).

3. \( ∠ APM = ∠ CPB \) как вертикальные углы.

Следовательно, \( \triangle APM ∼ \triangle CPB \) по третьему признаку подобия (по трем углам).

Из подобия следует:

\[ \frac{AM}{CB} = \frac{PM}{PB} = \frac{AP}{CP} \]

Известно, что сторона квадрата равна \( 12 \) см, значит \( AD = BC = 12 \) см. Дано \( AM = 5 \) см.

Найдем отношение подобия:

\[ \frac{AM}{CB} = \frac{5}{12} \]

Значит, \( \frac{PM}{PB} = \frac{5}{12} \). Это означает, что \( PM = 5x \) и \( PB = 12x \) для некоторого \( x \).

Отрезок \( BM \) состоит из \( BP \) и \( PM \): \( BM = BP + PM \).

Также, \( M \) лежит на \( AD \), значит \( AM = 5 \) см, \( MD = AD - AM = 12 - 5 = 7 \) см.

В прямоугольном треугольнике \( \triangle ABM \) (угол \( A = 90^\circ \)), найдем длину \( BM \) по теореме Пифагора:

\[ BM^2 = AB^2 + AM^2 \]

\[ BM^2 = 12^2 + 5^2 \]

\[ BM^2 = 144 + 25 \]

\[ BM^2 = 169 \]

\[ BM = \sqrt{169} = 13 \text{ см} \]

Теперь мы знаем, что \( BM = BP + PM = 13 \) см, и \( BP = 12x \), \( PM = 5x \).

\[ 12x + 5x = 13 \]

\[ 17x = 13 \]

\[ x = \frac{13}{17} \]

Найдем длины отрезков \( BP \) и \( PM \):

\[ BP = 12x = 12 \cdot \frac{13}{17} = \frac{156}{17} \text{ см} \]

\[ PM = 5x = 5 \cdot \frac{13}{17} = \frac{65}{17} \text{ см} \]

Ответ: \( BP = \frac{156}{17} \) см, \( PM = \frac{65}{17} \) см