7. Упростите выражение \((\frac{2}{x^2-4} + \frac{1}{2x-x^2}) : \frac{1}{x^2+4x+4}\)

Решение:

1. Приведём дроби в первой скобке к общему знаменателю. Разложим знаменатели на множители: \( x^2-4 = (x-2)(x+2) \), \( 2x-x^2 = x(2-x) = -x(x-2) \).
2. Общий знаменатель для первой скобки: \( -x(x-2)(x+2) \).
3. Преобразуем первую скобку: \(\left( \frac{2( -x)}{-x(x-2)(x+2)} + \frac{1(-(x+2))}{-x(x-2)(x+2)} \right) = \left( \frac{-2x - (x+2)}{-x(x-2)(x+2)} \right) = \left( \frac{-2x - x - 2}{-x(x-2)(x+2)} \right) = \left( \frac{-3x-2}{-x(x-2)(x+2)} \right)\).
4. Разложим знаменатель второй дроби: \( x^2+4x+4 = (x+2)^2 \).
5. Теперь выполним деление: \(\frac{-3x-2}{-x(x-2)(x+2)} \div \frac{1}{(x+2)^2} = \frac{-3x-2}{-x(x-2)(x+2)} \cdot (x+2)^2 \).
6. Сократим \( (x+2) \): \(\frac{-3x-2}{-x(x-2)} \cdot (x+2) = \frac{(-3x-2)(x+2)}{-x(x-2)} = \frac{-(3x+2)(x+2)}{-x(x-2)} = \frac{(3x+2)(x+2)}{x(x-2)}\).
7. Раскроем скобки в числителе: \(\frac{3x^2 + 6x + 2x + 4}{x^2 - 2x} = \frac{3x^2 + 8x + 4}{x^2 - 2x}\).

Ответ: \( \frac{3x^2 + 8x + 4}{x^2 - 2x} \).