№7. \(\sqrt{32} \cos^2 \frac{3\pi}{8} - \sqrt{32} \sin^2 \frac{3\pi}{8}\)

Решение:

1. Вынесем \(\sqrt{32}\) за скобки: \(\sqrt{32} (\cos^2 \frac{3\pi}{8} - \sin^2 \frac{3\pi}{8})\).
2. Используем формулу косинуса двойного угла: \(\cos(2A) = \cos^2 A - \sin^2 A\).
3. В нашем случае \(A = \frac{3\pi}{8}\), поэтому \(\cos^2 \frac{3\pi}{8} - \sin^2 \frac{3\pi}{8} = \cos(2 \cdot \frac{3\pi}{8}) = \cos \frac{3\pi}{4}\).
4. Значение \(\cos \frac{3\pi}{4} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\).
5. \(\sqrt{32} = \sqrt{16 \cdot 2} = 4\sqrt{2}\).
6. Теперь выражение равно: \(4\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2})\).
7. Вычислим: \(4\sqrt{2} \cdot (-\frac{\sqrt{2}}{2}) = -\frac{4 \cdot (\sqrt{2})^2}{2} = -\frac{4 \cdot 2}{2} = -4\).

Ответ: -4