№5. \(\sin \frac{23\pi}{12} \cdot \cos \frac{23\pi}{12}\)

Решение:

1. Используем формулу синуса двойного угла: \(\sin(2A) = 2 \sin A \cos A\).
2. Из этой формулы следует, что \(\sin A \cos A = \frac{1}{2} \sin(2A)\).
3. В нашем случае \(A = \frac{23\pi}{12}\).
4. Тогда \(\sin \frac{23\pi}{12} \cos \frac{23\pi}{12} = \frac{1}{2} \sin(2 \cdot \frac{23\pi}{12}) = \frac{1}{2} \sin \frac{23\pi}{6}\).
5. Приведём \(\frac{23\pi}{6}\) к удобному виду: \(\frac{23\pi}{6} = \frac{24\pi - \pi}{6} = 4\pi - \frac{\pi}{6}\).
6. Используем свойство периодичности синуса: \(\sin(4\pi - \frac{\pi}{6}) = \sin(-\frac{\pi}{6}) = -\sin \frac{\pi}{6}\).
7. Значение \(\sin \frac{\pi}{6} = \frac{1}{2}\).
8. Следовательно, \(\frac{1}{2} \sin \frac{23\pi}{6} = \frac{1}{2} \cdot (-\frac{1}{2}) = -\frac{1}{4}\).

Ответ: -\(\frac{1}{4}\)