7. Приведите пример трёхзначного числа, которое делится на 7, а при делении на 13 даёт остаток 1.

Решение:

Нужно найти число \( N \), такое что \( N = 7k \) и \( N = 13m + 1 \), где \( k \) и \( m \) — целые числа.

Приравняем: \( 7k = 13m + 1 \).

Это линейное диофантово уравнение. Будем подбирать \( m \) так, чтобы \( 13m + 1 \) делилось на 7.

• Если \( m = 1 \), то \( 13 · 1 + 1 = 14 \). 14 делится на 7. \( 14 / 7 = 2 \). Таким образом, \( k=2 \). Число \( N = 14 \). Но нам нужно трёхзначное число.
• Чтобы получить следующее такое число, нам нужно добавить к \( m \) число, кратное 7 (так как 7 и 13 взаимно простые).
• Попробуем \( m = 1 + 7 = 8 \). Тогда \( N = 13 · 8 + 1 = 104 + 1 = 105 \). Проверим: \( 105 / 7 = 15 \). Число 105 делится на 7 и даёт остаток 1 при делении на 13. Оно трёхзначное.

Ответ: 105.