5. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое больше 400, а при делении на 4 и на 8 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других.

Решение:

Пусть число имеет вид \( rrr \), где \( r \) — первая цифра, \( x \) — вторая, \( y \) — третья. Первая цифра \( r \) должна быть больше или равна 4.

Число можно записать как \( 100r + 10x + y \).

Условие, что первая цифра — среднее арифметическое двух других: \( r = \frac{x+y}{2} \), или \( 2r = x+y \).

Условие, что при делении на 4 и 8 даёт равные ненулевые остатки. НОК(4, 8) = 8. Если число делится на 8, то оно автоматически делится на 4. Значит, остаток от деления на 4 будет равен остатку от деления на 8, если этот остаток делится на 4. Возможные остатки: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Если остаток равен 4, то он делится на 4. Если остаток равен 0, то он делится на 4. Но нужны ненулевые остатки. Значит, остаток может быть только 4.

Ищем число \( N \) такое, что \( N = 4k + 4 \) и \( N = 8m + 4 \) для некоторых \( k, m \). Это значит, \( N \) дает остаток 4 при делении на 8.

Пусть \( r = 4 \). Тогда \( x+y = 2r = 8 \). Возможные пары \( (x, y) \) : (0, 8), (1, 7), (2, 6), (3, 5), (4, 4), (5, 3), (6, 2), (7, 1), (8, 0).

Числа: 408, 417, 426, 435, 444, 453, 462, 471, 480.

Проверим остаток при делении на 8:

• 408 / 8 = 51 (ост. 0) - не подходит (нужен ненулевой остаток)
• 417 / 8 = 52 (ост. 1) - не подходит (остаток 1 не делится на 4)
• 426 / 8 = 53 (ост. 2) - не подходит (остаток 2 не делится на 4)
• 435 / 8 = 54 (ост. 3) - не подходит (остаток 3 не делится на 4)
• 444 / 8 = 55 (ост. 4) - подходит! Остаток 4 при делении на 8. Остаток 4 при делении на 4.
• 453 / 8 = 56 (ост. 5) - не подходит
• 462 / 8 = 57 (ост. 6) - не подходит
• 471 / 8 = 58 (ост. 7) - не подходит
• 480 / 8 = 60 (ост. 0) - не подходит

Число 444 подходит.

Ответ: 444.