7. Постройте график функции: $$y = -x^2 + 4x - 6$$.

Решение:

Для построения графика квадратичной функции \( y = -x^2 + 4x - 6 \) найдём координаты вершины параболы и точки пересечения с осями.

1. Координаты вершины параболы:
   \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-4}{2 \cdot (-1)} = \frac{-4}{-2} = 2 \)
   \( y_в = -(2)^2 + 4(2) - 6 = -4 + 8 - 6 = -2 \)
   Вершина параболы: \( (2, -2) \).
2. Точка пересечения с осью y:
   При \( x = 0 \): \( y = -(0)^2 + 4(0) - 6 = -6 \). Точка: \( (0, -6) \).
3. Точки пересечения с осью x:
   Решим уравнение \( -x^2 + 4x - 6 = 0 \).
   Дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = 4^2 - 4 \cdot (-1) \cdot (-6) = 16 - 24 = -8 \).
   Так как \( D < 0 \), парабола не пересекает ось x.
4. Направление ветвей параболы:
   Так как коэффициент \( a = -1 \) (отрицательный), ветви параболы направлены вниз.
5. Построение графика:
   Отметим вершину \( (2, -2) \) и точку пересечения с осью y \( (0, -6) \). Из-за симметрии параболы относительно вертикальной оси, проходящей через вершину (\( x = 2 \)), найдём точку, симметричную \( (0, -6) \). Она будет иметь координаты \( (4, -6) \).

Ответ: График функции \( y = -x^2 + 4x - 6 \) — парабола с вершиной в точке \( (2, -2) \), ветви которой направлены вниз и не пересекают ось x.