7. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функции $$y=x^3-12x$$.

Решение:

1. Найдём производную функции.

\( y = x^3 - 12x \)

\( y' = (x^3)' - (12x)' \)

\( y' = 3x^2 - 12 \).

2. Найдем критические точки.

Приравняем производную к нулю:

\( 3x^2 - 12 = 0 \)

\( 3x^2 = 12 \)

\( x^2 = 4 \)

\( x = ±2 \).

Критические точки: \( x = -2 \) и \( x = 2 \).

3. Определим промежутки монотонности.

Разобьём числовую ось на интервалы с помощью критических точек: \( (-\infty, -2) \), \( (-2, 2) \), \( (2, +\infty) \).

• Интервал \( (-\infty, -2) \): Возьмём тестовую точку, например, \( x = -3 \). \( y'(-3) = 3(-3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Значит, на этом интервале функция возрастает.
• Интервал \( (-2, 2) \): Возьмём тестовую точку, например, \( x = 0 \). \( y'(0) = 3(0)^2 - 12 = -12 < 0 \). Значит, на этом интервале функция убывает.
• Интервал \( (2, +\infty) \): Возьмём тестовую точку, например, \( x = 3 \). \( y'(3) = 3(3)^2 - 12 = 3(9) - 12 = 27 - 12 = 15 > 0 \). Значит, на этом интервале функция возрастает.

4. Определим точки экстремума.

В точке \( x = -2 \) производная меняет знак с плюса на минус, значит, это точка локального максимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(-2) = (-2)^3 - 12(-2) = -8 + 24 = 16 \).

В точке \( x = 2 \) производная меняет знак с минуса на плюс, значит, это точка локального минимума.

Найдем значение функции в этой точке:

\( y(2) = (2)^3 - 12(2) = 8 - 24 = -16 \).

Итог:

• Промежутки монотонности: \( [-\infty, -2] \) — возрастание, \( [-2, 2] \) — убывание, \( [2, +\infty) \) — возрастание.
• Точки экстремума: \( x = -2 \) (локальный максимум), \( x = 2 \) (локальный минимум).

Ответ: Функция возрастает на \( (-\infty, -2] \) и \( [2, +\infty) \), убывает на \( [-2, 2] \). Точка максимума: \( (-2, 16) \), точка минимума: \( (2, -16) \).