2. Определите функцию, производная которой равна 8x:

Решение:

Нам нужно найти функцию \( f(x) \), такую что \( f'(x) = 8x \). Вспомним правило дифференцирования степенной функции: \( (x^n)' = nx^{n-1} \).

Если \( f'(x) = 8x \), то \( f(x) \) должна быть вида \( ax^2 \), так как \( (x^2)' = 2x \).

Тогда \( f'(x) = a \cdot 2x = 2ax \).

Приравнивая \( 2ax \) к \( 8x \), получаем \( 2a = 8 \), откуда \( a = 4 \).

Таким образом, функция \( f(x) = 4x^2 \).

Среди предложенных вариантов, только функция \( r) \) имеет производную \( 8x-8 \), что не равно \( 8x \).

Проверим вариант г) \( f(x) = 8x-8 \). Его производная \( f'(x) = (8x-8)' = 8 \), что не равно \( 8x \).

В заданиях такого типа обычно предполагается нахождение первообразной. Первообразной для \( 8x \) является \( 4x^2 \), так как \( (4x^2)' = 8x \). Если добавить константу \( C \), то \( (4x^2 + C)' = 8x \).

Однако, среди предложенных вариантов нет функции \( f(x) = 4x^2 \) или \( f(x) = 4x^2 + C \).

Пересмотрим варианты:

• а) \( f(x) = 8/x \) → \( f'(x) = -8/x^2 \)
• б) \( f(x) = 8\sqrt{x} = 8x^{1/2} \) → \( f'(x) = 8 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = 4/\sqrt{x} \)
• в) \( f(x) = 4x^2 + 7 \) → \( f'(x) = 8x \)
• г) \( f(x) = 8x - 8 \) → \( f'(x) = 8 \)

Правильный ответ: в) \( f(x) = 4x^2 + 7 \).

Ответ: в) \( f(x) = 4x^2 + 7 \).