5. Найдите наибольшее значение функции $$f(x)=\frac{2}{3}x^3-1,5x^2-2x$$ на отрезке $$[-1;3]$$.

Question

Вопрос:

Ответ:

Accepted Answer

Чтобы найти наибольшее значение функции на отрезке, нужно:

Найти производную функции.
Найти критические точки (где производная равна нулю или не существует).
Вычислить значения функции в критических точках, попадающих в отрезок, и на концах отрезка.
Сравнить полученные значения и выбрать наибольшее.

1. Найдём производную:

$ f(x) = \frac{2}{3}x^3 - 1.5x^2 - 2x $

$ f'(x) = \left(\frac{2}{3}x^3\right)' - \left(1.5x^2\right)' - (2x)' $

$ f'(x) = \frac{2}{3} · 3x^2 - 1.5 · 2x - 2 $

$ f'(x) = 2x^2 - 3x - 2 $

2. Найдем критические точки:

Приравняем производную к нулю:

$ 2x^2 - 3x - 2 = 0 $

Решим квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

$ D = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4 · 2 · (-2) = 9 + 16 = 25 $

$ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} $

$ x_1 = \frac{3 + \sqrt{25}}{2 · 2} = \frac{3 + 5}{4} = \frac{8}{4} = 2 $

$ x_2 = \frac{3 - \sqrt{25}}{2 · 2} = \frac{3 - 5}{4} = \frac{-2}{4} = -0.5 $

Обе критические точки $ x_1 = 2 $ и $ x_2 = -0.5 $ принадлежат отрезку $ [-1; 3] $.

3. Вычислим значения функции на концах отрезка и в критических точках:

$ f(-1) = \frac{2}{3}(-1)^3 - 1.5(-1)^2 - 2(-1) = \frac{2}{3}(-1) - 1.5(1) + 2 = -\frac{2}{3} - 1.5 + 2 = -0.66... - 1.5 + 2 = -0.16... $
$ f(-0.5) = \frac{2}{3}(-0.5)^3 - 1.5(-0.5)^2 - 2(-0.5) = \frac{2}{3}(-0.125) - 1.5(0.25) + 1 = \frac{2}{3}(-\frac{1}{8}) - \frac{3}{2}(\frac{1}{4}) + 1 = -\frac{2}{24} - \frac{3}{8} + 1 = -\frac{1}{12} - \frac{9}{24} + 1 = -\frac{2}{24} - \frac{9}{24} + \frac{24}{24} = \frac{13}{24} \approx 0.54 $
$ f(2) = \frac{2}{3}(2)^3 - 1.5(2)^2 - 2(2) = \frac{2}{3}(8) - 1.5(4) - 4 = \frac{16}{3} - 6 - 4 = 5.33... - 10 = -4.66... $
$ f(3) = \frac{2}{3}(3)^3 - 1.5(3)^2 - 2(3) = \frac{2}{3}(27) - 1.5(9) - 6 = 2 · 9 - 13.5 - 6 = 18 - 13.5 - 6 = 4.5 - 6 = -1.5 $

4. Сравним значения:

$ f(-1) \approx -0.16 $

$ f(-0.5) \approx 0.54 $

$ f(2) \approx -4.67 $

$ f(3) = -1.5 $

Наибольшее значение равно $ \frac{13}{24} $ при $ x = -0.5 $.

Ответ: Наибольшее значение функции равно $ \frac{13}{24} $.