7. Катер, собственная скорость которого 8 км/ч, прошел по реке расстояние равное 1 км по течению и такое же расстояние против течения. Найди скорость течения реки если время, затраченное на весь путь, равно 4 часа.

Решение:

Пусть \( v_t \) — скорость течения реки (км/ч). Тогда:

Скорость катера по течению: \( v_{теч} = 8 + v_t \) км/ч.

Скорость катера против течения: \( v_{против} = 8 - v_t \) км/ч.

Расстояние, которое прошел катер по течению, равно \( S = 1 \) км.

Расстояние, которое прошел катер против течения, равно \( S = 1 \) км.

Время, затраченное на путь по течению: \( t_{теч} = \frac{S}{v_{теч}} = \frac{1}{8+v_t} \) ч.

Время, затраченное на путь против течения: \( t_{против} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{1}{8-v_t} \) ч.

Общее время в пути равно 4 часа:

\[ t_{теч} + t_{против} = 4 \]

\[ \frac{1}{8+v_t} + \frac{1}{8-v_t} = 4 \]

Приведём к общему знаменателю:

\[ \frac{(8-v_t) + (8+v_t)}{(8+v_t)(8-v_t)} = 4 \]

\[ \frac{16}{64 - v_t^2} = 4 \]

Теперь решим полученное уравнение:

\[ 16 = 4(64 - v_t^2) \]

\[ 16 = 256 - 4v_t^2 \]

\[ 4v_t^2 = 256 - 16 \]

\[ 4v_t^2 = 240 \]

\[ v_t^2 = \frac{240}{4} \]

\[ v_t^2 = 60 \]

\[ v_t = \sqrt{60} = \sqrt{4 \cdot 15} = 2\sqrt{15} \]

Так как скорость течения не может быть отрицательной, берём положительный корень.

Приблизительное значение \( \sqrt{15} \approx 3.87 \). Тогда \( v_t \approx 2 \cdot 3.87 = 7.74 \) км/ч.

Проверим условие, что \( 8 - v_t > 0 \), то есть \( 8 > v_t \). \( 8 > 2\sqrt{15} \) так как \( 64 > 60 \).

Ответ: \( 2\sqrt{15} \) км/ч.