5. Упростить выражение и найти его значение: $$ \frac{a^{-9}}{a^{-2} \cdot a^{-5}}, \text{ при } a = \frac{1}{2} $$

Решение:

Сначала упростим выражение, используя свойства степеней. При умножении степеней с одинаковым основанием показатели складываются:

\[ a^{-2} \cdot a^{-5} = a^{-2 + (-5)} = a^{-7} \]

Теперь подставим это в исходное выражение:

\[ \frac{a^{-9}}{a^{-7}} \]

При делении степеней с одинаковым основанием показатели вычитаются:

\[ a^{-9 - (-7)} = a^{-9 + 7} = a^{-2} \]

Теперь найдём значение выражения при \( a = \frac{1}{2} \):

\[ \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \]

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, нужно перевернуть дробь и возвести в положительную степень:

\[ \left(\frac{2}{1}\right)^{2} = 2^2 = 4 \]

Ответ: 4.