7. К окружности центром О проведены касательные ВА и ВС (А и С – точки касания). Найдите ∠BCA, если ∠OAC = 32°.

Решение:

Так как \( BA \) и \( BC \) — касательные к окружности, проведенные из точки \( B \), то \( BA = BC \) и \( \angle BAO = \angle BCO = 90° \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).

Рассмотрим треугольник \( \triangle OAC \). \( OA = OC \) (радиусы окружности), значит, \( \triangle OAC \) — равнобедренный.

В равнобедренном \( \triangle OAC \): \( \angle OAC = \angle OCA \).

Нам дано \( \angle OAC = 32° \).

Следовательно, \( \angle OCA = 32° \).

Угол \( \angle BCA \) является частью угла \( \angle BCO \). Угол \( \angle BCO = 90° \).

\( \angle BCO = \angle BCA + \angle OCA \)

\[ 90° = \angle BCA + 32° \]

\[ \angle BCA = 90° - 32° \]

\[ \angle BCA = 58° \]

Ответ: 58°.