7) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x}+4(\sqrt{x}+3)}$

Question

$Фото задания: 7) $\int_{0}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x}+4(\sqrt{x}+3)}$$ Фото задания

Accepted Answer

Упростим знаменатель: $ \sqrt{x}+4(\sqrt{x}+3) = \sqrt{x}+4\sqrt{x}+12 = 5\sqrt{x}+12 $.
Интеграл имеет вид: $ \int_{0}^{5} \frac{dx}{5\sqrt{x}+12} $.
Сделаем замену переменной. Пусть $ u = \sqrt{x} $. Тогда $ x = u^2 $, $ dx = 2u du $.
Найдем пределы интегрирования для $ u $:
При $ x = 0 $: $ u = \sqrt{0} = 0 $.
При $ x = 5 $: $ u = \sqrt{5} $.
Интеграл примет вид: $ \int_{0}^{\sqrt{5}} \frac{2u du}{5u+12} $.
Выделим целую часть дроби $ \frac{2u}{5u+12} $:
$ \frac{2u}{5u+12} = \frac{\frac{2}{5}(5u+12) - \frac{24}{5}}{5u+12} = \frac{2}{5} - \frac{24}{5(5u+12)} $.
Интегрируем: $ \int_{0}^{\sqrt{5}} \left( \frac{2}{5} - \frac{24}{5(5u+12)} \right) du = \left[ \frac{2}{5}u - \frac{24}{5} \cdot \frac{1}{5} \ln|5u+12| \right]_{0}^{\sqrt{5}} $.
$ = \left[ \frac{2}{5}u - \frac{24}{25} \ln|5u+12| \right]_{0}^{\sqrt{5}} $.
Подставим пределы: $ = \left( \frac{2}{5}\sqrt{5} - \frac{24}{25} \ln|5\sqrt{5}+12| \right) - \left( \frac{2}{5}\cdot0 - \frac{24}{25} \ln|5\cdot0+12| \right) $.
$ = \frac{2\sqrt{5}}{5} - \frac{24}{25} \ln(5\sqrt{5}+12) + \frac{24}{25} \ln 12 $.
$ = \frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{24}{25} (\ln 12 - \ln(5\sqrt{5}+12)) = \frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{24}{25} \ln\left(\frac{12}{5\sqrt{5}+12}\right) $.

Ответ: $ \frac{2\sqrt{5}}{5} + \frac{24}{25} \ln\left(\frac{12}{5\sqrt{5}+12}\right) $.

7) \(\int_{0}^{5} \frac{dx}{\sqrt{x}+4(\sqrt{x}+3)}\)