6) \(\int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} dx\)

Решение:

Для вычисления интеграла \( \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} dx \) выполним преобразования подынтегральной функции.

1. Прибавим и вычтем 2 в числителе: \( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} = \frac{\sqrt{x}+2-2}{\sqrt{x}+2} = 1 - \frac{2}{\sqrt{x}+2} \).
2. Теперь проинтегрируем: \( \int_{1}^{4} \left( 1 - \frac{2}{\sqrt{x}+2} \right) dx = \int_{1}^{4} 1 dx - 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}+2} dx \).
3. Первый интеграл: \( \int_{1}^{4} 1 dx = [x]_{1}^{4} = 4 - 1 = 3 \).
4. Для второго интеграла \( \int \frac{1}{\sqrt{x}+2} dx \) сделаем замену \( t = \sqrt{x} \), тогда \( x = t^2 \), \( dx = 2t dt \).
   \( \int \frac{1}{t+2} 2t dt = 2 \int \frac{t}{t+2} dt \).
5. Преобразуем дробь: \( \frac{t}{t+2} = \frac{t+2-2}{t+2} = 1 - \frac{2}{t+2} \).
6. Интегрируем: \( 2 \int \left( 1 - \frac{2}{t+2} \right) dt = 2 \left( t - 2\ln|t+2| \right) + C \).
7. Подставим обратно \( t = \sqrt{x} \): \( 2\left( \sqrt{x} - 2\ln|\sqrt{x}+2| \right) \).
8. Теперь вычислим определенный интеграл: \( 2 \int_{1}^{4} \frac{1}{\sqrt{x}+2} dx = 2 \left[ \sqrt{x} - 2\ln|\sqrt{x}+2| \right]_{1}^{4} \).
9. Подставим пределы: \( = 2 \left( (\sqrt{4} - 2\ln|\sqrt{4}+2|) - (\sqrt{1} - 2\ln|\sqrt{1}+2|) \right) \).
10. \( = 2 \left( (2 - 2\ln|4+2|) - (1 - 2\ln|1+2|) \right) = 2 \left( (2 - 2\ln 6) - (1 - 2\ln 3) \right) \).
11. \( = 2 \left( 2 - 2\ln 6 - 1 + 2\ln 3 \right) = 2 \left( 1 - 2(\ln 6 - \ln 3) \right) = 2 \left( 1 - 2\ln\frac{6}{3} \right) = 2 \left( 1 - 2\ln 2 \right) = 2 - 4\ln 2 \).
12. Объединим результаты:
    \( \int_{1}^{4} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+2} dx = 3 - (2 - 4\ln 2) = 3 - 2 + 4\ln 2 = 1 + 4\ln 2 \).

Ответ: \( 1 + 4\ln 2 \).