3) \(\int_{1}^{2} \frac{dx}{5x+1}\)

Решение:

1. Найдем первообразную для функции \( \frac{1}{5x+1} \).
   Сделаем замену переменной: \( u = 5x+1 \), тогда \( du = 5dx \), \( dx = \frac{1}{5}du \).
   \( \int \frac{1}{u} \cdot \frac{1}{5}du = \frac{1}{5} \int \frac{1}{u}du = \frac{1}{5} \ln|u| + C = \frac{1}{5} \ln|5x+1| + C \).
2. Вычислим определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:
   \( \int_{1}^{2} \frac{dx}{5x+1} = \left[ \frac{1}{5} \ln|5x+1| \right]_{1}^{2} = \frac{1}{5} \ln|5\cdot2+1| - \frac{1}{5} \ln|5\cdot1+1| \).
3. Подставим значения:
   \( = \frac{1}{5} \ln|11| - \frac{1}{5} \ln|6| = \frac{1}{5} (\ln 11 - \ln 6) = \frac{1}{5} \ln\left(\frac{11}{6}\right) \).

Ответ: \( \frac{1}{5} \ln\left(\frac{11}{6}\right) \).