5) $\int_{1}^{2} \frac{x^2}{(x^3+1)^2} dx$

Question

$Фото задания: 5) $\int_{1}^{2} \frac{x^2}{(x^3+1)^2} dx$$ Фото задания

Accepted Answer

Сделаем замену переменной. Пусть $ u = x^3+1 $. Тогда $ du = 3x^2 dx $, следовательно $ x^2 dx = \frac{1}{3}du $.
Найдем пределы интегрирования для новой переменной $ u $:
При $ x = 1 $: $ u = 1^3+1 = 2 $.
При $ x = 2 $: $ u = 2^3+1 = 8+1 = 9 $.
Интеграл примет вид: $ \int_{2}^{9} \frac{1}{u^2} \cdot \frac{1}{3}du = \frac{1}{3} \int_{2}^{9} u^{-2} du $.
Проинтегрируем: $ \int u^{-2} du = \frac{u^{-2+1}}{-2+1} + C = \frac{u^{-1}}{-1} + C = -\frac{1}{u} + C $.
Вычислим определенный интеграл:
$ \frac{1}{3} \left[ -\frac{1}{u} \right]_{2}^{9} = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{9} - \left(-\frac{1}{2}\right) \right) $.
Подставим значения:
$ = \frac{1}{3} \left( -\frac{1}{9} + \frac{1}{2} \right) = \frac{1}{3} \left( -\frac{2}{18} + \frac{9}{18} \right) = \frac{1}{3} \left( \frac{7}{18} \right) = \frac{7}{54} $.

Ответ: $ \frac{7}{54} $.

5) \(\int_{1}^{2} \frac{x^2}{(x^3+1)^2} dx\)