7. Даны два события А и В, и известны некоторые вероятности: P(A ∩ B)=0,2, P(B) = 0,6 и P(A ∪ B)=0,9. Во всех четырех фигурах на диаграмме Эйлера расставьте вероятности соответствующих событий.

Решение:

Используем формулу для вероятности объединения двух событий: \( P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B) \).

Нам известны \( P(A \cup B) = 0.9 \), \( P(B) = 0.6 \), \( P(A \cap B) = 0.2 \). Найдём \( P(A) \).

\( 0.9 = P(A) + 0.6 - 0.2 \)

\( 0.9 = P(A) + 0.4 \)

\( P(A) = 0.9 - 0.4 = 0.5 \).

Теперь найдём вероятности для каждого из четырех регионов на диаграмме Эйлера:

1. Только событие А (A ∖ B): \( P(A \text{ только}) = P(A) - P(A \cap B) = 0.5 - 0.2 = 0.3 \)
2. Только событие В (B ∖ A): \( P(B \text{ только}) = P(B) - P(A \cap B) = 0.6 - 0.2 = 0.4 \)
3. Пересечение событий (A ∩ B): \( P(A \cap B) = 0.2 \)
4. Ни одно из событий (вне A ∪ B): \( P(\text{не } A \text{ и не } B) = 1 - P(A \cup B) = 1 - 0.9 = 0.1 \)

Проверка: \( 0.3 + 0.4 + 0.2 + 0.1 = 1.0 \).

Ответ: Вероятности для регионов на диаграмме Эйлера: только A — 0.3, только B — 0.4, A и B — 0.2, ни A, ни B — 0.1.