Контрольные задания
Вопрос:

7. C A B 0 Езуса Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки АВ и СЕ равны.

Фото задания: 7. C A B 0 Езуса Два квадрата имеют общую вершину. Докажите, что отмеченные на рисунке отрезки АВ и СЕ равны.Фото задания

Ответ:

Привет! Давай разберемся с этой геометрической задачей. Нам нужно доказать, что отрезки AB и CE равны.

Что нам дано?

  • У нас есть два квадрата, которые имеют общую вершину. Обозначим эту общую вершину как O.
  • Предположим, что первый квадрат — это OAEF (где A и E — вершины, соседние с O), а второй квадрат — это OCBD (где C и B — вершины, соседние с O).
  • Нам нужно доказать, что длина отрезка AB равна длине отрезка CE.

Ключевая идея: Поворот

Чтобы доказать равенство отрезков AB и CE, мы можем использовать метод поворота. Представь, что мы поворачиваем квадрат OAEF вокруг общей вершины O на 90 градусов.

Шаги доказательства:

  1. Поворот квадрата OAEF: Повернем квадрат OAEF вокруг точки O на 90 градусов против часовой стрелки.
  2. Куда перейдет точка A? Поскольку OA — это сторона квадрата, после поворота на 90 градусов она перейдет в отрезок, который совпадет со стороной OC второго квадрата (или будет лежать на ней, если квадраты ориентированы определенным образом). То есть, точка A перейдет в точку C.
  3. Куда перейдет точка B? Поскольку OB — это сторона квадрата, после поворота на 90 градусов она перейдет в отрезок, который совпадет со стороной OE первого квадрата (или будет лежать на ней). То есть, точка B перейдет в точку E.
  4. Что это значит для отрезка AB? Если точка A переходит в точку C, а точка B переходит в точку E при повороте, то и отрезок AB должен перейти в отрезок CE.
  5. Равенство отрезков: При повороте все расстояния сохраняются. Следовательно, длина отрезка AB должна быть равна длине отрезка CE.

Альтернативное доказательство (через равенство треугольников):

Можно также доказать равенство отрезков AB и CE, используя равенство треугольников.

  1. Рассмотрим треугольники OAB и OCE:
    • OA = OC (стороны квадрата OAEF и OCBD соответственно).
    • OB = OE (стороны квадрата OCBD и OAEF соответственно).
    • Угол AOB = Угол COE. Почему? Угол AOC равен 90 градусов (как угол квадрата). Угол COE = Угол AOC - Угол AOE = 90 - Угол AOE. Угол AOB = Угол COE = 90 - Угол AOE.
  2. Равенство треугольников по двум сторонам и углу между ними (первый признак равенства): Треугольники OAB и OCE равны.
  3. Следствие: Так как треугольники равны, то их соответствующие стороны равны. Следовательно, AB = CE.

Вывод: Отрезки AB и CE равны.