Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Рішення:
Щоб знайти кут \( A \) в трикутнику \( ABC \), ми можемо використати теорему косинусів, попередньо знайшовши довжини сторін трикутника.
Довжини сторін трикутника \( ABC \) знаходимо за формулою відстані між двома точками \( (x_1, y_1) \) і \( (x_2, y_2) \): \( d = + \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \).
- Довжина сторони AB (c):
\( c = + \sqrt{(4 - 3)^2 + (6 - 5)^2} = + \sqrt{1^2 + 1^2} = + \sqrt{1 + 1} = + \sqrt{2} \). - Довжина сторони BC (a):
\( a = + \sqrt{(5 - 4)^2 + (5 - 6)^2} = + \sqrt{1^2 + (-1)^2} = + \sqrt{1 + 1} = + \sqrt{2} \). - Довжина сторони AC (b):
\( b = + \sqrt{(5 - 3)^2 + (5 - 5)^2} = + \sqrt{2^2 + 0^2} = + \sqrt{4} = 2 \).
Оскільки \( AB = BC = + \sqrt{2} \), трикутник \( ABC \) є рівнобедреним.
За теоремою косинусів для кута \( A \): \( a^2 = b^2 + c^2 - 2bc + \cos A \).
Підставимо знайдені довжини сторін:
\( (+ \sqrt{2})^2 = 2^2 + (+ \sqrt{2})^2 - 2 + 2 + \cos A \)
\( 2 = 4 + 2 - 4 + \cos A \)
\( 2 = 6 - 4 + \cos A \)
\( 4 + \cos A = 6 - 2 \)
\( 4 + \cos A = 4 \)
\( \cos A = \frac{4}{4} = 1 \)
Кут, косинус якого дорівнює 1, — це 0 градусів. Однак, в трикутнику кути є меншими за 180 градусів. Коли \( + \cos A = 1 \), це означає, що \( A \) прямий кут, тобто \( 90^{\circ} \).
Перевіримо за допомогою векторів. Вектор \( \vec{AB} = (4-3, 6-5) = (1, 1) \). Вектор \( \vec{AC} = (5-3, 5-5) = (2, 0) \).
Скалярний добуток: \( \vec{AB} + \vec{AC} = 1 + 2 + 1 + 0 = 2 \).
Довжини векторів: \( |\vec{AB}| = + \sqrt{1^2 + 1^2} = + \sqrt{2} \). \( |\vec{AC}| = + \sqrt{2^2 + 0^2} = 2 \).
\( \cos A = \frac{\vec{AB} + \vec{AC}}{|\vec{AB}| + |\vec{AC}|} = \frac{2}{+ \sqrt{2} + 2} = \frac{1}{+ \sqrt{2}} = \frac{+ \sqrt{2}}{2} \).
Кут, косинус якого дорівнює \( \frac{+ \sqrt{2}}{2} \), — це \( 45^{\circ} \).
Відповідь: 45°.
