6) Запишите уравнение прямой, проходящей через точку пересечения прямых \( 2x + y = 0 \) и \( x - y = -3 \) и параллельной графику уравнения \( 7(y-x+1) - x = 3(2x+1) \).

Решение:

1. Найдем точку пересечения прямых \( 2x + y = 0 \) и \( x - y = -3 \).
2. Из первого уравнения выразим \( y \): \( y = -2x \).
3. Подставим во второе уравнение: \( x - (-2x) = -3 \) => \( x + 2x = -3 \) => \( 3x = -3 \) => \( x = -1 \).
4. Найдем \( y \): \( y = -2(-1) = 2 \).
5. Точка пересечения имеет координаты \( (-1; 2) \).
6. Теперь упростим уравнение \( 7(y-x+1) - x = 3(2x+1) \) для нахождения наклона параллельной прямой.
7. \( 7y - 7x + 7 - x = 6x + 3 \)
8. \( 7y - 8x + 7 = 6x + 3 \)
9. \( 7y = 14x - 4 \)
10. \( y = 2x - \frac{4}{7} \).
11. Наклон этой прямой равен 2. Параллельная прямая будет иметь тот же наклон.
12. Уравнение искомой прямой имеет вид \( y = 2x + b \).
13. Так как прямая проходит через точку \( (-1; 2) \), подставим её координаты: \( 2 = 2(-1) + b \) => \( 2 = -2 + b \) => \( b = 4 \).
14. Искомое уравнение прямой: \( y = 2x + 4 \).

Ответ: \( y = 2x + 4 \).