6. Прямая CD касается окружности с центром О и радиусом 12 см в точке С. Найдите OD, если угол COD = 60°.

Задание 6

Дано:

• Окружность с центром \( O \) и радиусом \( R = 12 \) см.
• Прямая \( CD \) касается окружности в точке \( C \).
• \( \angle COD = 60^\circ \).

Найти: Длину отрезка \( OD \).

Решение:

Так как прямая \( CD \) касается окружности в точке \( C \), то радиус \( OC \) перпендикулярен касательной \( CD \) в точке касания. Следовательно, \( \triangle OCD \) — прямоугольный треугольник с прямым углом \( \angle OCD = 90^\circ \).

В этом прямоугольном треугольнике:

• \( OC \) — катет, который равен радиусу окружности, то есть \( OC = 12 \) см.
• \( \angle COD = 60^\circ \) — один из острых углов.
• \( OD \) — гипотенуза, которую нужно найти.

Для нахождения гипотенузы \( OD \) мы можем использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. Косинус угла \( \angle COD \) равен отношению прилежащего катета \( OC \) к гипотенузе \( OD \):

\[ \cos(\angle COD) = \frac{OC}{OD} \]

\[ \cos(60^\circ) = \frac{12}{OD} \]

Мы знаем, что \( \cos(60^\circ) = \frac{1}{2} \).

\[ \frac{1}{2} = \frac{12}{OD} \]

Теперь решим уравнение относительно \( OD \):

\[ OD = 12 \cdot 2 \]

\[ OD = 24 \) см.

Ответ: 24 см.