6. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое больше 500, а при делении на 4 и на 6 даёт равные ненулевые остатки и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других.

Пусть искомое трехзначное число равно abc.

Условия:

1. abc > 500.


2. abc = 4k + r, abc = 6m + r, где r > 0. Это значит, что abc - r делится на НОК(4, 6) = 12. То есть abc = 12n + r, где r > 0. Возможные остатки: 1, 2, ..., 5 (так как остаток меньше 6, а при делении на 4 он может быть 1, 2, 3, а при делении на 6 он может быть 1, 2, 3, 4, 5. Их пересечение: 1, 2, 3, 4, 5. Но abc - r должно делиться на 12, значит r может быть любое от 1 до 11. Однако, r должно быть меньше 4 и меньше 6, значит r может быть 1, 2, 3).


3. a = (b + c) / 2, то есть 2a = b + c.

Из условия abc > 500, следует, что a может быть 5, 6, 7, 8, 9.

Из условия 2a = b + c, сумма b + c должна быть четной.

Перебираем a от 5:

• Если a = 5, то b + c = 10. Возможные пары (b, c) с одинаковой четностью: (1, 9), (2, 8), (3, 7), (4, 6), (5, 5), (6, 4), (7, 3), (8, 2), (9, 1). Числа: 519, 528, 537, 546, 555, 564, 573, 582, 591.
  Проверим остатки при делении на 12:
  
  
  
  • 519 = 12 * 43 + 3. Остаток 3. Проверим деление на 4 и 6: 519 : 4 = 129 (ост. 3), 519 : 6 = 86 (ост. 3). Подходит!
  
  
  
  

Мы нашли число 519.

Ответ: 519.