4. Приведите пример трёхзначного натурального числа, которое больше 300, а при делении на 6 и на 8 даёт равные остатки (ненулевые) и первая слева цифра которого является средним арифметическим двух других.

Пусть искомое трехзначное число равно abc, где a, b, c - его цифры.

По условию:

1. Число abc > 300.


2. При делении на 6 и на 8 даёт равные ненулевые остатки. Это значит, что число можно представить в виде:
   
   
   
   • abc = 6k + r, где r > 0
   
   
   • abc = 8m + r, где r > 0
   
   
   
   Следовательно, abc - r делится и на 6, и на 8. Значит, abc - r делится на НОК(6, 8) = 24.
   То есть, abc = 24n + r, где r > 0. Возможные остатки: 1, 2, ..., 7 (так как остаток меньше делителя).
   


3. a = (b + c) / 2. Отсюда 2a = b + c.

Рассмотрим условие abc > 300. Это значит, что a может быть 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.

Из условия a = (b + c) / 2 следует, что сумма b + c должна быть четной. Это возможно, если b и c имеют одинаковую четность (оба четные или оба нечетные).

Начнем перебирать значения a от 3:

• Если a = 3, то b + c = 2 * 3 = 6. Возможные пары (b, c): (0, 6), (1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1), (6, 0). Числа: 306, 315, 324, 333, 342, 351, 360.
  Проверим остатки при делении на 24:
  
  
  
  • 306 = 24 * 12 + 18. Остаток 18 (не подходит, т.к. 18 > 8).
  
  
  • 315 = 24 * 13 + 3. Остаток 3. Проверим деление на 6 и 8: 315 : 6 = 52 (ост. 3), 315 : 8 = 39 (ост. 3). Подходит!
  
  
  
  

Мы нашли число 315, которое удовлетворяет всем условиям.

Ответ: 315.