6. Правильный икосаэдр — многогранник, составленный из 20 треугольников с равными сторонами. Икосаэдр с ребром 1 разрезали по нескольким рёбрам и развернули на плоскость одним куском так, что грани не перекрываются и никакие две грани не соприкасаются по отрезку, если они не остались склеены по нему. Чему может быть равен периметр развёртки? Найдите все варианты и докажите, что других нет.

Развёртка состоит из 20 равносторонних треугольников со стороной 1. У них всего 60 сторон; каждая сохранённая общая сторона двух граней становится внутренней, а каждая разрезанная сторона входит в периметр. Если разрезано k рёбер икосаэдра, периметр развёртки равен k.

Чтобы перечислить все возможные значения, нужно установить, какие связные наборы граней икосаэдра могут быть развёрнуты без перекрытий и без дополнительного соприкосновения несмежных граней. Полный перечень таких развёрток и доказательство полноты из фотографии не следуют; без отдельного доказательства ограничусь установленной связью: периметр равен числу разрезанных рёбер.