№6 Написать уравнение прямой, проходящей через центр окружности, заданной уравнением (х + 7)² + (y - 1)² = 81 и точку М (-3; -4).

Решение:

Уравнение окружности имеет вид \( (x-x_0)^2 + (y-y_0)^2 = R^2 \), где \( (x_0; y_0) \) — координаты центра окружности.

Из данного уравнения \( (x + 7)^2 + (y - 1)^2 = 81 \) следует, что центр окружности \( O \) имеет координаты \( (-7; 1) \).

Теперь у нас есть две точки, через которые проходит прямая: центр окружности \( O(-7; 1) \) и точка \( M(-3; -4) \).

Уравнение прямой, проходящей через две точки \( (x_1; y_1) \) и \( (x_2; y_2) \), имеет вид:

\[ \frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1} \]

Подставим координаты точек \( O(-7; 1) \) (это \( x_1 \) и \( y_1 \)) и \( M(-3; -4) \) (это \( x_2 \) и \( y_2 \)):

\[ \frac{x - (-7)}{-3 - (-7)} = \frac{y - 1}{-4 - 1} \]\[ \frac{x + 7}{-3 + 7} = \frac{y - 1}{-5} \]\[ \frac{x + 7}{4} = \frac{y - 1}{-5} \]

Теперь преобразуем это уравнение к виду \( Ax + By + C = 0 \) или \( y = kx + b \).

Умножим обе части на \( 4 \cdot (-5) \) чтобы избавиться от знаменателей:

\( -5(x + 7) = 4(y - 1) \)
\( -5x - 35 = 4y - 4 \)
\( -5x - 4y - 35 + 4 = 0 \)
\( -5x - 4y - 31 = 0 \)

Умножим все на -1 для удобства:

\( 5x + 4y + 31 = 0 \)

Или, если выразить \( y \):

\( 4y = -5x - 31 \)
\( y = -\frac{5}{4}x - \frac{31}{4} \)

Ответ: Уравнение прямой: \( 5x + 4y + 31 = 0 \) или \( y = -\frac{5}{4}x - \frac{31}{4} \).