№3 Дано: А (3; -2), B (-5; 4), C (-1; -3). Найдите: а) координаты вектора АВ; б) длину вектора ВС; в) координаты середины отрезка АС; г) расстояние между точками А и В.

Решение:

а) Координаты вектора АВ:

Вектор \( \vec{AB} \) находится вычитанием координат начала из координат конца: \( \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A) \).

\[ \vec{AB} = (-5 - 3; 4 - (-2)) = (-8; 4 + 2) = (-8; 6) \]

б) Длина вектора ВС:

Сначала найдем координаты вектора \( \vec{BC} \):

\[ \vec{BC} = (x_C - x_B; y_C - y_B) = (-1 - (-5); -3 - 4) = (-1 + 5; -7) = (4; -7) \]

Длина вектора \( \vec{BC} \) вычисляется по формуле: \( |\vec{BC}| = \sqrt{x^2 + y^2} \).

\[ |\vec{BC}| = \sqrt{4^2 + (-7)^2} = \sqrt{16 + 49} = \sqrt{65} \]

в) Координаты середины отрезка АС:

Координаты середины отрезка \( M \) находятся как среднее арифметическое координат концов:

\[ M = \left(\frac{x_A + x_C}{2}; \frac{y_A + y_C}{2}\right) \]\[ M = \left(\frac{3 + (-1)}{2}; \frac{-2 + (-3)}{2}\right) = \left(\frac{2}{2}; \frac{-5}{2}\right) = (1; -2.5) \]

г) Расстояние между точками А и В:

Расстояние между двумя точками равно длине вектора, соединяющего эти точки. Мы уже нашли координаты вектора \( \vec{AB} \) в пункте а).

\[ AB = |\vec{AB}| = \sqrt{(-8)^2 + 6^2} = \sqrt{64 + 36} = \sqrt{100} = 10 \]

Ответ: а) \( \vec{AB} = (-8; 6) \); б) \( |\vec{BC}| = \sqrt{65} \); в) \( M = (1; -2.5) \); г) \( AB = 10 \).