6. На отрезке AB выбрана точка C так, что AC = 56 и BC = 9. Построена окружность с центром A, проходящая через C. Найдите длину отрезка касательной, проведенной из точки B к этой окружности.

Решение:

Дано: Окружность с центром в точке A. Точка C лежит на окружности. AC — радиус окружности. Точка B находится вне окружности. BC — отрезок, соединяющий точку B с точкой C на окружности. Из точки B проведена касательная к окружности. Пусть точка касания будет T. Тогда отрезок BT — касательная.

По условию, AC = 56. Так как C лежит на окружности с центром A, то AC является радиусом окружности, то есть \( R = AC = 56 \).

Точка B находится на прямой AC. BC = 9. Значит, расстояние от центра окружности A до точки B равно AB. Если точка C находится между A и B, то \( AB = AC + CB = 56 + 9 = 65 \). Если точка B находится между A и C, то \( AB = AC - BC = 56 - 9 = 47 \). Из рисунка видно, что точка C находится между A и B.

Отрезок BT — касательная к окружности, проведенная из точки B. Радиус, проведенный в точку касания (AT), перпендикулярен касательной (BT). Следовательно, треугольник ATB — прямоугольный с прямым углом \( \angle ATB = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике ATB:

• Гипотенуза — AB (расстояние от центра окружности до точки B). \( AB = 65 \).
• Катет — AT (радиус окружности). \( AT = R = 56 \).
• Катет — BT (длина касательной).

По теореме Пифагора:

\( AB^2 = AT^2 + BT^2 \)

\( 65^2 = 56^2 + BT^2 \)

\( 4225 = 3136 + BT^2 \)

\( BT^2 = 4225 - 3136 \)

\( BT^2 = 1089 \)

\( BT = \sqrt{1089} \)

\( BT = 33 \)

Ответ: 33.