5. В треугольнике ABC известно, что DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 57. Найдите площадь треугольника ABC.

Решение:

Средняя линия треугольника параллельна одной из его сторон и равна половине этой стороны. Отрезки CD и CE являются половинами сторон AC и BC соответственно, так как D и E — середины сторон AC и BC (по определению средней линии DE, если она соединяет середины AC и BC).

Треугольники CDE и CAB подобны по двум углам (угол C общий, \( ∠ CED = ∠ CAB \) как соответственные при параллельных DE и AB и секущей AC, и \( ∠ CDE = ∠ CBA \) как соответственные при параллельных DE и AB и секущей BC).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия треугольника CDE к треугольнику CAB равен отношению их соответствующих сторон. Так как DE — средняя линия, то \( DE = \frac{1}{2} AB \). Следовательно, коэффициент подобия \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).

Отношение площадей:

\( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 \)

\( \frac{57}{S_{CAB}} = \left(\frac{1}{2}\right)^2 \)

\( \frac{57}{S_{CAB}} = \frac{1}{4} \)

\( S_{CAB} = 57 \cdot 4 \)

\( S_{CAB} = 228 \)

Ответ: 228.