6. Две копировальные машины, работая одновременно, сделали копию макета документов за 20 мин. За какое время может выполнить эту работу каждая из них, если известно, что одной потребуется для этого на 30 мин меньше, чем второй?

Решение:

Пусть \( x \) — время (в минутах), за которое вторая машина выполняет работу. Тогда первая машина выполняет работу за \( x - 30 \) минут.

1. Производительность первой машины: \( \frac{1}{x-30} \) работы в минуту.
2. Производительность второй машины: \( \frac{1}{x} \) работы в минуту.
3. Совместная производительность: \( \frac{1}{x-30} + \frac{1}{x} \) работы в минуту.
4. Известно, что вместе они выполняют работу за 20 минут. Значит, их совместная производительность равна \( \frac{1}{20} \) работы в минуту.
5. Составим уравнение: \( \frac{1}{x-30} + \frac{1}{x} = \frac{1}{20} \)
6. Приведем дроби к общему знаменателю: \( \frac{x + (x-30)}{x(x-30)} = \frac{1}{20} \)
7. \( \frac{2x - 30}{x^2 - 30x} = \frac{1}{20} \)
8. Перемножим крест-накрест: \( 20(2x - 30) = x^2 - 30x \)
9. \( 40x - 600 = x^2 - 30x \)
10. Перенесем все в одну сторону: \( x^2 - 30x - 40x + 600 = 0 \)
11. \( x^2 - 70x + 600 = 0 \)
12. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-70)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 600 = 4900 - 2400 = 2500 \)
13. Найдем \( x \): \( x = \frac{70 \pm \sqrt{2500}}{2} = \frac{70 \pm 50}{2} \)
14. \( x_1 = \frac{70 + 50}{2} = \frac{120}{2} = 60 \)
15. \( x_2 = \frac{70 - 50}{2} = \frac{20}{2} = 10 \)
16. Если \( x = 10 \), то время первой машины \( 10 - 30 = -20 \), что невозможно.
17. Следовательно, \( x = 60 \) минут — время второй машины.
18. Время первой машины: \( 60 - 30 = 30 \) минут.

Ответ: Одна машина выполнит работу за 30 минут, другая — за 60 минут.