4. Найдите координаты точек пересечения графиков функций $$y = \sqrt{x}$$ и $$y=2-x$$.

Решение:

Чтобы найти точки пересечения, приравняем правые части уравнений:

1. \( \sqrt{x} = 2 - x \)
2. Возведем обе части в квадрат: \( x = (2 - x)^2 \)
3. Раскроем квадрат разности: \( x = 4 - 4x + x^2 \)
4. Перенесем все в одну сторону: \( x^2 - 4x - x + 4 = 0 \)
5. Получим квадратное уравнение: \( x^2 - 5x + 4 = 0 \)
6. Решим уравнение, найдя дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 25 - 16 = 9 \)
7. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 3}{2} = 4 \)
8. \( x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 3}{2} = 1 \)
9. Теперь найдем соответствующие значения y.
• Для \( x_1 = 4 \): \( y = \sqrt{4} = 2 \). Проверим второе уравнение: \( y = 2 - 4 = -2 \). Значения y не совпадают, значит, \( x = 4 \) — посторонний корень.
• Для \( x_2 = 1 \): \( y = \sqrt{1} = 1 \). Проверим второе уравнение: \( y = 2 - 1 = 1 \). Значения y совпадают.

Ответ: Точка пересечения имеет координаты (1; 1).