6. Через середину P гипотенузы AB прямоугольного треугольника ABC проведена прямая, параллельная его катетам. Одна из этих прямых пересекает катет AC в точке F, а другая — катет BC в точке K. Найдите отрезок FK, если AB = 16 см.

В прямоугольном треугольнике середина гипотенузы равноудалена от всех трёх вершин, поэтому расстояние от P до прямого угла C равно половине гипотенузы: \(PC=AB/2=8\) см.

Прямые через P параллельны катетам, поэтому четырёхугольник CFKP — прямоугольник: его диагонали CK и FP не нужны; отрезок FK является диагональю прямоугольника, а его длина не определяется одной лишь длиной AB без углов или длин катетов.

При этом формулировка, вероятно, подразумевает, что F и K — пересечения через P параллельных катетам с противоположными катетами. В координатах C=(0,0), A=(a,0), B=(0,b), AB=16, тогда P=(a/2,b/2), а F=(a/2,0), K=(0,b/2), следовательно \(FK=\sqrt{(a/2)^2+(b/2)^2}=AB/2=8\) см.

Ответ: 8 см.