Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Линия \( y = -x^2 - 1 \) всегда ниже оси \( x \) (так как \( -x^2 \) максимум 0, то \( -x^2 - 1 \) максимум -1). Линия \( y = 0 \) — это ось \( x \).
При \( x = 1 \), \( y = -(1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 \).
При \( x = -1 \) (предполагая симметричность относительно оси \( y \), хотя это не указано, но является стандартным для таких задач), \( y = -(-1)^2 - 1 = -1 - 1 = -2 \).
Найдём точки пересечения \( y = -x^2 - 1 \) с \( y = 0 \):
\[ -x^2 - 1 = 0 \]
\[ -x^2 = 1 \]
\[ x^2 = -1 \]
Это уравнение не имеет действительных корней, что подтверждает, что парабола \( y = -x^2 - 1 \) не пересекает ось \( x \) и находится ниже неё.
В условии указаны линии \( y = -x^2 - 1 \), \( y = 0 \) и \( x = 1 \). Для корректного вычисления площади фигуры, нам обычно нужны две границы по \( x \). Поскольку такая граница не указана, предположим, что вторая граница — это \( x = -1 \) (симметричное положение относительно оси \( y \)) или \( x = 0 \) (если подразумевается площадь от оси \( y \) до \( x=1 \)).
Вариант 1: Предполагаем границы \( x = -1 \) и \( x = 1 \).
Площадь вычисляется по формуле:
\[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| dx \]
Здесь \( f(x) = -x^2 - 1 \). Так как \( -x^2 - 1 \) отрицательно, \( |f(x)| = -(-x^2 - 1) = x^2 + 1 \).
\[ S = \int_{-1}^{1} (x^2 + 1) dx \]
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{-1}^{1} \]
\[ S = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{(-1)^3}{3} + (-1) \right) \]
\[ S = \left( \frac{1}{3} + 1 \right) - \left( -\frac{1}{3} - 1 \right) \]
\[ S = \frac{1}{3} + 1 + \frac{1}{3} + 1 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2}{3} + \frac{6}{3} = \frac{8}{3} \]
Вариант 2: Предполагаем границы \( x = 0 \) и \( x = 1 \).
\[ S = \int_{0}^{1} (x^2 + 1) dx \]
\[ S = \left[ \frac{x^3}{3} + x \right]_{0}^{1} \]
\[ S = \left( \frac{1^3}{3} + 1 \right) - \left( \frac{0^3}{3} + 0 \right) \]
\[ S = \frac{1}{3} + 1 = \frac{4}{3} \]
Учитывая, что в задачах такого типа часто подразумевается симметричная область, более вероятным ответом является \(\frac{8}{3}\).
Ответ: \(\frac{8}{3}\).
