№2. Вычислите определенный интеграл с помощью метода замены переменной: a) $$\int_{0}^{1} (5x - 1)^3dx$$; 6) $$\int_{0}^{\pi} \sin 4x dx$$.

Question

№2. Вычислите определенный интеграл с помощью метода замены переменной: a) $$\int_{0}^{1} (5x - 1)^3dx$$; 6) $$\int_{0}^{\pi} \sin 4x dx$$.

$Фото задания: №2. Вычислите определенный интеграл с помощью метода замены переменной: a) $\int_{0}^{1} (5x - 1)^3dx$; 6) $\int_{0}^{\pi}…$ Фото задания

Accepted Answer

Решение:

а)

Пусть $ u = 5x - 1 $. Тогда $ du = 5dx $, или $ dx = \frac{1}{5}du $.

Изменим пределы интегрирования:
- При $ x = 0 $, $ u = 5(0) - 1 = -1 $.
- При $ x = 1 $, $ u = 5(1) - 1 = 4 $.
Подставим в интеграл:

$ \int_{0}^{1} (5x - 1)^3dx = \int_{-1}^{4} u^3 \cdot \frac{1}{5}du = \frac{1}{5} \int_{-1}^{4} u^3du $

Вычислим интеграл:

$ \frac{1}{5} \left[ \frac{u^4}{4} \right]_{-1}^{4} = \frac{1}{5} \left( \frac{4^4}{4} - \frac{(-1)^4}{4} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{256}{4} - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{5} \left( 64 - \frac{1}{4} \right) = \frac{1}{5} \left( \frac{256 - 1}{4} \right) = \frac{1}{5} \cdot \frac{255}{4} = \frac{51}{4} $
б)

Пусть $ u = 4x $. Тогда $ du = 4dx $, или $ dx = \frac{1}{4}du $.

Изменим пределы интегрирования:
- При $ x = 0 $, $ u = 4(0) = 0 $.
- При $ x = \pi $, $ u = 4\pi $.
Подставим в интеграл:

$ \int_{0}^{\pi} \sin 4x dx = \int_{0}^{4\pi} \sin u \cdot \frac{1}{4}du = \frac{1}{4} \int_{0}^{4\pi} \sin u du $

Вычислим интеграл:

$ \frac{1}{4} \left[ -\cos u \right]_{0}^{4\pi} = \frac{1}{4} (-\cos(4\pi) - (-\cos(0))) = \frac{1}{4} (-1 - (-1)) = \frac{1}{4}(-1 + 1) = 0 $

Ответ: а) $\frac{51}{4}$; б) 0.