№1. Вычислите определенный интеграл с помощью метода непосредственного интегрирования: a) $$\int_{-1}^{3} (6x^2 - 6x + 4)dx$$; 6) $$\int_{-1}^{1} (x^2 - 8x)dx$$; B) $$\int_{3}^{9} \frac{9}{x} dx$$.

Решение:

1. а)

   Для вычисления интеграла \( \int_{-1}^{3} (6x^2 - 6x + 4)dx \) найдём первообразную:

   \( F(x) = \int (6x^2 - 6x + 4)dx = 6\frac{x^3}{3} - 6\frac{x^2}{2} + 4x = 2x^3 - 3x^2 + 4x \)

   Теперь вычислим значение определённого интеграла:

   \( [2x^3 - 3x^2 + 4x]_{ -1}^{3} = (2(3)^3 - 3(3)^2 + 4(3)) - (2(-1)^3 - 3(-1)^2 + 4(-1)) \)

   \( = (2 \cdot 27 - 3 \cdot 9 + 12) - (2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 - 4) \)

   \( = (54 - 27 + 12) - (-2 - 3 - 4) = 39 - (-9) = 39 + 9 = 48 \)

2. б)

   Для вычисления интеграла \( \int_{-1}^{1} (x^2 - 8x)dx \) найдём первообразную:

   \( F(x) = \int (x^2 - 8x)dx = \frac{x^3}{3} - 8\frac{x^2}{2} = \frac{x^3}{3} - 4x^2 \)

   Теперь вычислим значение определённого интеграла:

   \( [\frac{x^3}{3} - 4x^2]_{ -1}^{1} = (\frac{1^3}{3} - 4(1)^2) - (\frac{(-1)^3}{3} - 4(-1)^2) \)

   \( = (\frac{1}{3} - 4) - (\frac{-1}{3} - 4) = \frac{1}{3} - 4 + \frac{1}{3} + 4 = \frac{2}{3} \)

3. в)

   Для вычисления интеграла \( \int_{3}^{9} \frac{9}{x} dx \) найдём первообразную:

   \( F(x) = \int \frac{9}{x} dx = 9 \ln|x| \)

   Теперь вычислим значение определённого интеграла:

   \( [9 \ln|x|]_{3}^{9} = 9 \ln|9| - 9 \ln|3| = 9(\ln 9 - \ln 3) = 9 \ln(\frac{9}{3}) = 9 \ln 3 \)

Ответ: а) 48; б) \(\frac{2}{3}\); в) \(9 \ln 3\).