№3. Вычислите определенный интеграл с помощью метода интегрирования по частям: a) $$\int_{0}^{1} 4xe^xdx$$; 6) $$\int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} \sin x dx$$.

Решение:

1. а)

   Используем метод интегрирования по частям: \( \int u dv = uv - \int v du \).

   Пусть \( u = 4x \), тогда \( du = 4dx \).

   Пусть \( dv = e^x dx \), тогда \( v = \int e^x dx = e^x \).

   Применим формулу:

   \( \int_{0}^{1} 4xe^x dx = [4xe^x]_{0}^{1} - \int_{0}^{1} e^x 4dx \)

   \( = (4(1)e^1 - 4(0)e^0) - 4\int_{0}^{1} e^x dx \)

   \( = (4e - 0) - 4[e^x]_{0}^{1} \)

   \( = 4e - 4(e^1 - e^0) = 4e - 4(e - 1) = 4e - 4e + 4 = 4 \)

2. б)

   Этот интеграл не требует интегрирования по частям, так как \(\frac{\pi}{3}\) является константой. Интеграл можно вычислить непосредственным интегрированием.

   \( \int_{0}^{\pi} \frac{\pi}{3} \sin x dx = \frac{\pi}{3} \int_{0}^{\pi} \sin x dx \)

   Найдем первообразную:

   \( \frac{\pi}{3} [-\cos x]_{0}^{\pi} \)

   Вычислим значение:

   \( = \frac{\pi}{3} (-\cos(\pi) - (-\cos(0))) \)

   \( = \frac{\pi}{3} (-(-1) - (-1)) = \frac{\pi}{3} (1 + 1) = \frac{\pi}{3} \cdot 2 = \frac{2\pi}{3} \)

Ответ: а) 4; б) \(\frac{2\pi}{3}\).