5. В окружности с центром в точке O, хорды KL и MN параллельны, а хорда KM является диаметром. а) Докажите, что KLMN — прямоугольник. б) Найдите угол между диагоналями этого прямоугольника, если известно, что \( \angle MKL = 25^{\circ} \).

Решение:

а) Доказательство:

1. KM — диаметр окружности. Угол \( \angle KML \) является вписанным и опирается на диаметр, следовательно, \( \angle KML = 90^{\circ} \). Аналогично, \( \angle KNL = 90^{\circ} \) (так как опирается на диаметр KM).

2. Хорды KL и MN параллельны (по условию).

3. Рассмотрим четырёхугольник KLMN. Если параллельные хорды KL и MN отсекают равные дуги, то они равноудалены от центра. Однако, из параллельности KL || MN и того, что KM — диаметр, следует, что дуги KN и ML равны. Это означает, что хорды KN и ML равны.

4. Поскольку KL || MN, то углы, опирающиеся на дуги KN и ML (если они равны), будут равны. Угол \( \angle KNL \) опирается на дугу KL, а угол \( \angle KML \) опирается на дугу KL. Следовательно, \( \angle KNL = \angle KML = 90^{\circ} \).

5. Угол \( \angle LKN \) опирается на дугу LN, а угол \( \angle LMN \) опирается на дугу LN. Следовательно, \( \angle LKN = \angle LMN \).

6. В параллельных прямых (KL || MN) секущая KM образует внутренние накрест лежащие углы \( \angle LKM \) и \( \angle KMN \). Следовательно, \( \angle LKM = \angle KMN \).

7. Рассмотрим четырёхугольник KLMN. У нас уже есть два прямых угла: \( \angle KML = 90^{\circ} \) и \( \angle KNL = 90^{\circ} \).

8. Поскольку KL || MN, и KM — секущая, то \( \angle LKM + \angle KMN = 180^{\circ} \).

9. Рассмотрим другой вариант. Если KL || MN, то дуга KM равна дуге LN. Но это не всегда так. Важно, что KM — диаметр.

10. Рассмотрим свойство трапеции, вписанной в окружность. Такая трапеция является равнобедренной. Значит, KLMN — равнобедренная трапеция, у которой основания KL и MN параллельны. Следовательно, боковые стороны KN и ML равны.

11. Четырёхугольник KLMN вписан в окружность. KM — диаметр, значит, углы \( \angle KML \) и \( \angle KNL \) равны 90°. В четырёхугольнике, вписанном в окружность, если один из углов прямой, то противолежащий ему угол также прямой, если диагональ является диаметром. KM — диаметр, поэтому \( \angle KLM = 90^{\circ} \) и \( \angle KNM = 90^{\circ} \).

12. Таким образом, все углы четырёхугольника KLMN равны 90°. Следовательно, KLMN — прямоугольник.

б) Нахождение угла между диагоналями:

1. Мы имеем прямоугольник KLMN, вписанный в окружность с центром O. KM — диаметр.

2. По условию, \( \angle MKL = 25^{\circ} \).

3. В прямоугольнике диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам. Пусть диагонали KM и LN пересекаются в точке O (центр окружности). Значит, \( KO = LO = MO = NO \).

4. Рассмотрим треугольник KLO. Стороны KO и LO равны (радиусы), значит, треугольник KLO — равнобедренный. Углы при основании равны: \( \angle LKO = \angle LOK \).

5. Угол \( \angle MKL = 25^{\circ} \).

6. Так как KM — диаметр, \( \angle KLM = 90^{\circ} \).

7. В прямоугольном треугольнике KLM, \( \angle LMK + \angle LKM = 90^{\circ} \).

\[ \angle LMK + 25^{\circ} = 90^{\circ} \]

\[ \angle LMK = 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \]

8. Диагонали KM и LN пересекаются в точке O. Угол между диагоналями — это угол между отрезками KO и LO (или MO и NO, или KL и MN, и т.д.).

9. Рассмотрим треугольник KLO. \( KO = LO \) (радиусы). Угол \( \angle LKO = \angle MKL = 25^{\circ} \) (так как это один и тот же угол).

10. В равнобедренном треугольнике KLO, \( \angle LKO = 25^{\circ} \). Угол между диагоналями, который нас интересует, это \( \angle KOL \).

11. Сумма углов в треугольнике KLO равна 180°: \( \angle LKO + \angle LOK + \angle KOL = 180^{\circ} \).

12. В равнобедренном треугольнике KLO, \( \angle LKO = \angle LOK = 25^{\circ} \) (это неверно, \( \angle LKO \) и \( \angle LOK \) — это углы при основании, а \( \angle KOL \) — угол между диагоналями).

13. Правильно: в равнобедренном треугольнике KLO, \( \angle LKO = 25^{\circ} \). Угол при основании \( \angle LOK \) равен \( 180^{\circ} - 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \) (из \( \triangle LMK \)).

14. Угол между диагоналями \( \angle KOL \) является вертикальным с углом \( \angle LMN \).

15. Угол \( \angle KOL \) — это угол при вершине равнобедренного \( \triangle KOL \), где \( KO=LO \). Углы при основании \( \angle LKO \) и \( \angle LOK \) равны.

16. Угол \( \angle LKO = 25^{\circ} \).

17. Угол \( \angle LMK = 65^{\circ} \) (найден ранее).

18. Угол \( \angle LMN \) — это угол, опирающийся на дугу LN. Угол \( \angle LKN \) также опирается на дугу LN. \( \angle LKN = \angle LMK = 65^{\circ} \).

19. В прямоугольнике \( KLMN \), диагонали пересекаются в точке O. Рассмотрим \( \triangle KLO \). \( KO = LO \). \( \angle LKO = 25^{\circ} \).

20. Угол \( \angle LOK \) — это угол при основании равнобедренного \( \triangle KLO \).

21. \( \angle LOK = 180^{\circ} - 2 \cdot 25^{\circ} = 180^{\circ} - 50^{\circ} = 130^{\circ} \). Это угол между диагоналями.

22. Другой угол между диагоналями будет смежным к нему: \( 180^{\circ} - 130^{\circ} = 50^{\circ} \).

23. Обычно под углом между диагоналями понимают острый угол.

Ответ: а) доказано; б) 50°.