4. Хорды AB и CD пересекаются в точке F. Известно, что AF = 6 см, BF = 3 см, а отрезок CF в два раза длиннее отрезка DF. Найдите длину хорды CD.

Решение:

По теореме о пересекающихся хордах в окружности, произведение отрезков, на которые хорда делится точкой пересечения, постоянно. То есть:

\[ AF \cdot BF = CF \cdot DF \]

По условию задачи:

\( AF = 6 \) см

\( BF = 3 \) см

\( CF = 2 \cdot DF \)

Подставим известные значения в формулу:

\[ 6 \text{ см} \cdot 3 \text{ см} = (2 \cdot DF) \cdot DF \]

\[ 18 \text{ см}^2 = 2 \cdot DF^2 \]

Разделим обе части на 2:

\[ DF^2 = 9 \text{ см}^2 \]

Извлечём квадратный корень:

\[ DF = 3 \) см.

Теперь найдём длину отрезка CF:

\[ CF = 2 \(\cdot\) DF = 2 \(\cdot\) 3 \(\text{ см}\) = 6 \) см.

Длина хорды CD равна сумме длин отрезков CF и DF:

\[ CD = CF + DF = 6 \(\text{ см}\) + 3 \(\text{ см}\) = 9 \) см.

Ответ: 9 см.