5. Упростите выражение \( \left( \frac{b+1}{b-1} - \frac{b}{b+1} \right) : \frac{3b+1}{2b-2} \)

Решение:

1. Приведём к общему знаменателю выражение в скобках:
• \( \frac{b+1}{b-1} - \frac{b}{b+1} = \frac{(b+1)(b+1) - b(b-1)}{(b-1)(b+1)} = \frac{b^2 + 2b + 1 - (b^2 - b)}{b^2 - 1} = \frac{b^2 + 2b + 1 - b^2 + b}{b^2 - 1} = \frac{3b+1}{b^2-1} \)
2. Заменим деление умножением на обратную дробь:
• \( \frac{3b+1}{b^2-1} : \frac{3b+1}{2b-2} = \frac{3b+1}{b^2-1} \cdot \frac{2b-2}{3b+1} \)
3. Сократим дробь:
• \( \frac{3b+1}{(b-1)(b+1)} \cdot \frac{2(b-1)}{3b+1} = \frac{2}{b+1} \)

Ответ: \( \frac{2}{b+1} \).