5. Упростите выражение: a) \(\frac{a^{-2} \cdot a^3}{a^{-1}}\) б) \((5^{-4})^3 \cdot 5^8\)

Решение:

5. Упрощение выражений:

1. а) Деление степеней с одинаковым основанием: \(\frac{a^{-2} \cdot a^3}{a^{-1}}\)
   • Сначала упростим числитель: \(a^{-2} \cdot a^3 = a^{-2+3} = a^1 = a\).
   • Теперь разделим: \(\frac{a}{a^{-1}}\).
   • При делении степеней с одинаковым основанием вычитаем показатели: \(a^{1 - (-1)} = a^{1+1} = a^2\).
2. б) Возведение степени в степень и умножение степеней: \((5^{-4})^3 \cdot 5^8\)
   • Возведём степень в степень: \((5^{-4})^3 = 5^{-4 \cdot 3} = 5^{-12}\).
   • Теперь умножим: \(5^{-12} \cdot 5^8\).
   • При умножении степеней с одинаковым основанием складываем показатели: \(5^{-12+8} = 5^{-4}\).
   • Представим результат как дробь: \(5^{-4} = \frac{1}{5^4} = \frac{1}{625}\).

Ответ: а) \(a^2\); б) \(5^{-4}\) или \(\frac{1}{625}\).